我也瞎说几句吧。

作为一个好的数学对象，既要与现有理论相容，最好还要有实际的应用。向量这个数学对象是很棒的，可以定义加法和数量乘法，且加法满足结合律交换律，与几何对应的矢量加法满足平行四边形法则，完美相容，现实世界的力抽象为一个矢量的话，有大小有方向，且力的合成(加法)满足平行四边形法则。还可以引入内积，引入内积后可以定义度量，可以定义正交，然后古典的分析那一套方法和结论都可以拿过来用，简直就是屠龙刀一样无往不利的工具。回到问题，怎样把向量的概念推广，要求推广后的对象与现有理论不矛盾，还有怎么定义运算，都是大问题，例如题主说的所谓向体的概念，有点类似线性流形，也就是线性方程组的解空间。建议题主去学学近世代数，打开数学新世界的大门。