原来指数函数的定义域为有理数域，为了将该定义域扩展到实数域，所以需要对无理数进行定义。

数学上严格的定义是用确界原理给出的，简单的说就是一种逼近。我们知道对于任何一个无理数，它周围总是有无穷多个和它非常接近的有理数，而有理数的指数函数是已经有定义的了，所以我们用这些非常接近的有理数的指数函数的值来逼近无理数的指数，可以简单理解为一种极限（其实是确界）以我的表述能力只能这么说了，实在不知道你有多少基础，有兴趣的话可以参考高等教育出版社出版的《数学分析》上册第14页的内容。