当在餐厅中遇到客人吃出蟑螂的情况时，餐厅方面应采取以下措施来解决这一问题：

1. 及时道歉：首先，餐厅应向客人诚恳道歉，表达对客人在用餐过程中遇到不愉快事件的歉意。

道歉应当是真诚的，并体现出餐厅对客人的尊重和关注。

2. 确保食品安全：对于任何食品安全问题，餐厅应立即采取行动，确保食品的新鲜和卫生。需要对厨房和用餐区域进行彻底清洁和消毒，以确保其他顾客的用餐安全。

3. 赔偿客人：考虑到蟑螂事件给客人带来的困扰和不愉快，餐厅应给予客人一定的赔偿。可以提供优惠券、折扣或其他形式的赔偿，以表达餐厅对此事的重视和关注。

4. 建立相关制度：餐厅应建立健全的卫生管理制度，确保食品的储存、加工和服务的卫生和安全。此外，应定期对厨房和用餐区域进行卫生检查和维护，以预防类似问题的再次发生。

5. 改进服务：餐厅应提高员工的服务意识和卫生意识，加强培训，确保员工在遇到类似问题时能够及时采取有效措施，并尽可能地减少客人的不满和投诉。另外，如果遇到客人将蟑螂偷偷放入并以此要求商家赔偿自己的损失这种情况，商家可以积极回应并解释事实，但如果客人坚持己见并存在敲诈勒索行为，商家则可以寻求法律援助并报警处理。