切线长可以通过斜率和勾股定理来证明。

首先，切线的斜率可以通过求导函数在该点处的值来得到。然后，通过勾股定理可以计算出切线与曲线在该点的交点的距离，即为切线长。具体地说，设曲线方程为y=f(x)，点P(x0,y0)在曲线上，则切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中f'(x0)为函数f(x)在点x0处的导数。设切点为Q(x,y)，则切线长PQ=sqrt[(x-x0)^2+(y-y0)^2]。因此，切线长的计算依赖于函数的导数和勾股定理。