三角函数的象限是根据三角函数的定义和三角形的几何关系推导出来的。

下面是对三角函数（正弦、余弦、正切）在各个象限的符号的简要推导：

1. 正弦函数（sine）：正弦函数表示的是一个角的纵坐标与它在单位圆上对应的点的横坐标之间的比率。根据单位圆的定义，我们可以知道在第一象限中，正弦函数的值是正数；在第二象限中，正弦函数的值是正数；在第三象限中，正弦函数的值是负数；在第四象限中，正弦函数的值是负数。

2. 余弦函数（cosine）：余弦函数表示的是一个角的横坐标与它在单位圆上对应的点的横坐标之间的比率。同样地，根据单位圆的定义，我们可以知道在第一象限中，余弦函数的值是正数；在第二象限中，余弦函数的值是负数；在第三象限中，余弦函数的值是负数；在第四象限中，余弦函数的值是正数。

3. 正切函数（tangent）：正切函数表示的是一个角的正弦值与余弦值之间的比率。对于正切函数的符号，我们可以根据正切函数和正弦函数、余弦函数的关系来推导。在第一象限中，正切函数的值是正数；在第二象限中，正切函数的值是负数；在第三象限中，正切函数的值是正数；在第四象限中，正切函数的值是负数。综上所述，通过对三角函数的定义和单位圆的几何关系进行分析，我们可以推导出三角函数在不同象限上的符号。这个推导过程是基于几何图形和数学原理的，帮助我们理解三角函数在不同象限的性质和变化规律。