将三个特解两两相减就可以得到该线性齐次微分方程的通解.然后,取其中的两个,在每一个之前乘上一个任意常数,相加后再加上一个三个特解中的任意一个

y''-y'-2y=e^x-2xe^x。

某二阶线性非齐次微分方程的三个解:

y1=xe^x,,,,,y2=xe^x+e^-x,,,,y3=xe^x+e^2x-e^-x

那么y2-y1=e^-x,y3-y2=e^2x是二阶线性齐次微分方程的两个解:，故二阶线性齐次微分方程的特解C1e^-x+C2e^2x，-1；

2是特征根，二阶线性齐次微分方程为：y''-y'-2y=0

设y''-y'-2y=f(x),y1=xe^x是解，代入得：

f(x)=2e^x+xe^x-xe^x-e^x-2xe^x=e^x-2xe^x

所求非齐次微分方程：y''-y'-2y=e^x-2xe^x

简介

微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

知道三个特解可以通过配方法来求微分方程。首先，将微分方程写成特征方程的形式，然后根据根的情况分类讨论：若方程的特征根为实不相等根，则可得到三个不同的特解；若特征根为实相等根，则可得到两个相同的特解和一个不同的特解；若特征根为虚根，则可得到一个实的特解和复共轭的两个特解。通过求解特征方程和分类讨论，我们就能够求得微分方程的三个特解。

可以通过以下三个步骤求微分方程的特解：

1. 代入常数特解：根据微分方程的形式，可以代入一个常数作为特解，然后通过求导等方式验证是否成立。如果成立，则得到了一个特解；

2. 代入指数特解：如果常数特解不能得到特解，可以尝试代入指数函数，其形式为e^（ax），其中a为待定系数。同样，通过一定的求导等方式验证是否成立，从而得到指数特解；

3. 代入三角函数特解： 如果上述两种方式仍不能得到特解，可以尝试代入三角函数，如sin（ax）或cos（ax），其中a为待定系数。同样，通过求导等方式验证是否成立，从而得到三角函数特解。以上三个特解可组合使用，以得到微分方程的完整解。