平顶山市人才公寓的申请流程如下：

1. 符合条件。

申请人必须是在平顶山市有稳定就业或创业意向的高层次人才、紧缺人才、急需紧缺人才、高技能人才、青年人才等。

2.填写申请表。申请人需填写《平顶山市人才公寓申请表》，并提供相关证明材料。

3.提交申请。将填好的申请表和相关证明材料提交至平顶山市人力资源和社会保障局。

4.审核。平顶山市人力资源和社会保障局对申请材料进行审核，符合条件的申请人将被列入公寓入住名单。

5.公示。入住名单将在平顶山市人力资源和社会保障局官网上进行公示，公示期为7天。

6.签订合同。公示期结束后，入选的申请人需与平顶山市人才公寓签订租赁合同，并缴纳相应的租金和押金。需要注意的是，不同类型的人才公寓申请条件和流程可能会有所不同，具体情况可以咨询当地相关部门或官方网站。