要去除烧水壶上顽固的水垢，最有效的方法是使用醋和小苏打。

首先，将壶中注满白醋，然后加入适量的小苏打。让混合物在壶内浸泡一段时间，然后用刷子或海绵擦拭壶内壁。醋和小苏打的化学反应可以溶解水垢，并去除壶内的污渍。最后，用清水冲洗壶内，确保彻底清除残留物。这种方法简单易行，且对环境友好，能够有效恢复烧水壶的清洁度。