根据《中华人民共和国劳动合同法》，如果员工未签订书面劳动合同但存在事实劳动关系，被无故辞退时，可以要求以下赔偿：

1. 经济补偿：按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的经济补偿。

2. 双倍工资：自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

3. 社会保险：若公司未依法为劳动者缴纳社会保险，可要求补缴或赔偿相应损失。具体赔偿金额需根据实际工作时长、工资标准及当地法规计算。建议咨询专业律师获取详细解答。