卡方分布的期望和方差是通过对概率密度函数进行数学推导得出的。

对于自由度为n的卡方分布，其概率密度函数可以表示为:$ f(x) = \\frac{1}{2^{n/2} \\Gamma (n/2)} x^{n/2-1} e^{-x/2} $其中，$ \\Gamma $ 为伽马函数。我们可以通过求解上述概率密度函数的一阶和二阶矩来推导出卡方分布的期望和方差。首先，求解一阶矩(期望):$ E(X) = \\int_{0}^{\\infty} x f(x) dx = n $接着，求解二阶矩(方差):$ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $$ E(X^2) = \\int_{0}^{\\infty} x^2 f(x) dx = 2n $因此，我们可以得出卡方分布的期望和方差分别为n和2n。这些结果对于推导和分析卡方分布在统计学中的应用非常有用。