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数学
sin万能公式的推导
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  • 陈老师育儿
    已解决
    2024-01-19 12:33
    sin万能公式的推导，在线求解答问题补充：
    sin万能公式的推导，在线求解答
    解决时间 2025-12-26 04:19
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  • 2024-01-19 12:33

    • 万能公式是通过三角函数的定义和欧拉公式推导出来的，通过将欧拉公式中的正弦和余弦函数表示为指数函数的形式，再使用指数函数的幂级数展开式得到的。

    具体而言，利用欧拉公式 $e^{ix}=\\cos x+i\\sin x$，将其分别表示为实部和虚部的形式，得到 $\\cos x=\\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ 和 $\\sin x=\\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$。然后使用指数函数的幂级数展开式，将 $\\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ 和 $\\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ 展开成无穷级数，然后进行化简和整理，最终得到万能公式。

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  • 1楼
    2025-12-26 04:19

    sin2x=(2sinxcosx)/(sin²x+cos²x)

    将分子分母同时除以cos²x 有:

    sin2x=2tanx/(tan²x+1) 。

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  • 2楼
    2024-01-19 12:33

    万能公式，又称为倍角公式，三角函数中的万能公式是：

    \\[2\\sin x\\cos x = \\sin 2x\\]

    推导过程如下：

    由三角函数的和差化积公式我们知道：

    \\[ \\sin (A + B) + \\sin (A - B) = 2 \\sin A \\cos B \\]

    将 \\(A = x\\) 和 \\(B = x\\) 代入上式，得到：

    \\[ \\sin (x + x) + \\sin (x - x) = 2 \\sin x \\cos x \\]

    化简得到：

    \\[ \\sin 2x + \\sin 0 = 2 \\sin x \\cos x \\]

    由于 \\( \\sin 0 = 0 \\)，所以：

    \\[ \\sin 2x = 2 \\sin x \\cos x \\]

    这就是万能公式，也被称为倍角公式。

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