要用数学归纳法证明$n$个对立事件相互独立，需要按照以下步骤进行证明：

1. 证明当$n=1$时，两个对立事件相互独立。

2.假设当$n=k$时，$k$个对立事件相互独立。

3.证明当$n=k+1$时，$k+1$个对立事件相互独立。下面是一个示例，证明当$n=2$时，两个对立事件相互独立。假设有两个对立事件$A$和$B$，它们的概率分别为$P(A)$和$P(B)$。要证明$A$和$B$相互独立，需要满足$P(AB)=P(A)P(B)$。因为$A$和$B$是对立事件，所以$AB$是不可能事件，即$P(AB)=0$。又因为$A$和$B$的概率之和为$1$，即$P(A)+P(B)=1$，所以可以得到：\\begin{align*} P(AB)&=P(A)P(B)\\\\ 0&=P(A)P(B)\\\\ P(A)&=0 \\quad or \\quad P(B)=0 \\end{align*}这意味着$A$和$B$其中一个事件的概率为$0$，即它们不可能同时发生，因此$A$和$B$是相互独立的。通过以上步骤，我们证明了当$n=2$时，两个对立事件相互独立。如果需要证明当$n=k$或$n=k+1$时，$k$个或$k+1$个对立事件相互独立，可以按照类似的方法进行证明。