如果是个人意愿可以不交，但如果是单位不交，则根据《中华人民共和国社会保险法》的规定，用人单位应当依法为其职工缴纳社会保险费。
监理工程师作为用人单位的员工，公司应当为其办理社会保险。如果公司不办理社保，违反了相关法律法规，监理工程师可以向相关部门投诉或者寻求法律援助。
不可以的。我国的社保指的是社会基本保险，也就是平常说的五险一金，由于社保实行的是强制性质，由所在单位和员工个人按月按照一定比例及时足额交纳，共同承担，建立个人的专门帐户，由专门机构予以管理。可见，社保是依法规定的强制交费，监理公司不交社保当然是不可以的。
不成，去北京诚科做监理必须交社保，除非短期借调